De fato, não existe norma específica que regulamenta os procedimentos de tramitação do processo na fase interna.
Sugiro que a Prefeitura edite um normativo para suprir essa lacuna. Tal competência decorre do Poder Regulamentar do Poder Executivo Municipal. Para o caso específico do orçamento, o normativo mais adequado seria uma resolução ou portaria.
Para preservar a informação e inibir a divulgação ilícita, seria interessante que o normativo editado abordasse os seguintes procedimentos:
1) Identificação do setor responsável pela elaboração do orçamento;
2) Tramitação do orçamento em autos apartados, com chancela de sigilo, ou nos mesmos autos em envelope fechado com identificação no exterior do conteúdo.
3) Controle registrado de acesso ao orçamento.
4) Deixa expresso que o responsável pela divulgação responderá por processo administrativo disciplinar.
5) Identificar os setores que poderão ter acesso, salvo exceções.
Recomendo a leitura da obra de minha autoria RDC: Regime Diferenciado de Contratações Públicas: Lei nº 12.462, de 5 de agosto de 2011. Organização J. U. Jacoby Fernandes. Belo Horizonte: Editora Fórum, 2012.
Coautoria de Fernando Paiva